高等数学第五章定积分微积分基本公

　　5。3微积分基本公式
　　一、积分上限的函数及其导数
　　设函数
　　在区间
　　上连续，并设
　　为
　　上的一点，考察
　　在部分区间
　　上的积分
　　这一特殊形式的积分有两点应该注意：
　　因
　　在
　　连续，该定积分存在。此时，变量
　　身兼两职，既是积分变量，又是积分的上限。
　　为了明确起见，将积分变量改用其它符号如
　　来表示，这是因为定积分与积分变量的选取无关。上面的定积分改写成下述形式
　　若上限
　　在
　　上任意变动，则对应于每一个取定
　　，该定积分有一个对应值。所以，它在
　　上定义了一个新的函数，记作
　　称
　　为以积分上限为变量的函数（简称变上限函数）。
　　是否确有这类函数？
　　观察一个例子，正态曲线
　　在
　　上的变上限函数为
　　它表示一个曲边梯形的面积。运行程序gs0503。m，可分别作出
　　，
　　在
　　上的图象
　　这表明，
　　确实是一个新的函数。
　　【定理一】如果函数
　　在区间
　　上连续，则变上限函数
　　在
　　上具有导数，且它的导数是
　　证明：当上限
　　获得增量
　　时，
　　在
　　处的函数值为
　　由此得函数的增量
　　据积分中值定理：
　　在
　　与
　　之间
　　即：
　　定理一表明：
　　是
　　的一个原函数。因此，我们便有下面原函数的存在性定理。
　　【定理二】如果函数
　　在区间
　　上连续，则函数
　　就是
　　在
　　上的一个原函数。
　　定理二的重要意义在于：
　　肯定了连续函数的原函数的存在性。
　　揭示了定积分与原函数之间的联系。使得定积分的计算有可能通过原函数来实现。
　　二、牛顿莱布尼兹公式
　　【定理三】设
　　在
　　上连续，
　　是
　　在
　　上的任一原函数
　　则
　　证明：
　　与
　　均是
　　在
　　上的原函数
　　则
　　（
　　为常数，
　　）
　　令
　　，
　　而
　　故
　　从而
　　即
　　若令
　　，得：
　　为了方便，今后记
　　或
　　。
　　最后，我们提醒一句，微积分基本公式时，一定要注意条件：
　　是
　　在区间
　　上的原函数。
　　【例1】计算
　　与
　　解：
　　注：当初阿基米德用穷竭法计算定积分
　　，可是费了不少功夫，可如今变得简单多了，这得益于微积分基本公式。
　　【例2】设
　　在
　　内连续，且
　　，证明函数
　　在
　　内为单调增加函数。
　　证明：
　　由假设，在
　　上
　　，
　　，故
　　，
　　，
　　从而，
　　在
　　上是单增的。
　　【例3】求极限
　　解：这是一个
　　型的不定式，可用罗必达法则来计算，分子可写成
　　它是以
　　为上限的函数，作为
　　的函数，它可视作以
　　为中间变量的复合函数，故
　　注明：试图用牛顿莱布尼兹公式计算定积分的思路是不可取的。这是因为
　　不具有有限形式的原函数。
　　公元前的古希腊数学家阿基米德最先具有定积分的初步思想方法，而明确提出定积分概念却是由牛顿（英16421727）与莱布尼兹（德16461716）共同完成的。而当时的定积分理论基础尚不严谨，甚至连个严格的定义都没有。直到（18261866）德国数学家黎曼给出了今天的定积分严格定义。
　　这一事实表明：一个科学概念从萌芽、诞生到成熟需要经历很长时间。因此，列宁称自然科学的生命是概念再恰当不过了。
　　定积分的符号
　　是由莱布尼兹首先引用的。其含义是：定积分的实质是求积分和式的极限，英文中求和一词是Sum，将S拉长变成了
　　。显然，符号
　　从外形到含义均表达了求和的涵义，堪称形意兼备。莱布尼兹在微积分中引用的符号系统：
　　彼此之间有联系，又各自表达不同的意义，可以说十分先进。现代计算机数学软件所采用的符号系统便是莱布尼兹所定义的，由这一点可看出先进的符号体系是重要的。
　　我国古代数学尽管历史悠久，但发展缓慢，其中一个重要的原因是符号落后。象著名的勾股定理也仅被表述成：勾三股四弦五，即：
　　在计算机编程中，合理有效地使用符号与变量的名称更是一个不容忽视的大问题。