我们在日常生活中经常会遇到编排正方形体操队列，在正方形台上操场上鲜 花、插彩旗，在正方形棋盘上摆棋子等问题。学生排队，士兵列队，横着排叫做 行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形。在数学中 我们称这类问题为方阵问题。中间是实心的方阵叫作实心方阵，中间空心的方阵 叫作空心方阵，求空心方阵的总点数，也可以看作由4个相同的长方形点阵组合 而成。方阵问题的核心是求最外层每边人数。 一、基本知识点 1、含义 将若干人或物体按一定条件排成正方形，称为方阵。根据已知条件求总人数 或总物数，这类问题就叫做方阵问题。 2、特点 方阵中，行数和列数相等；里一层总比外一层的一边少2个物体；里一层 物体的个数一定比上一层物体总个数少8个。 3、类型 （1）实心方阵 （2）空心方阵 4、数量关系 （1）实心心方阵（核心公式）： 每层数（每边数1）4或者每层数每边数44； 每边数每层数41； 实心方阵：物体总数最外层的一边个数的平方外层每边数每边数。 （2）空心方阵（核心公式）： 外层每边数总数4层数层数； 每层数（每边数1）4； 内层数外层数8 物体总数（最外层一边个数层数）层数4（最外层层数最内层层数） 层数2 （3）去掉一行、一列的总数去掉的每边数21； （4）实心方阵的总数是一完全平方数，空心方阵的总数是4的倍数。 5、解题思路 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵 的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。 6、解题方法 （1）图示法 （2）公式法 二、一张思维导图归纳总结 三、经典应用 例1、在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人， 参加体操表演的同学一共有多少人？ 【分析】体操表演排成的方阵是实心方阵，根据公式物体总数每边数每 边数，可以求出一共有多少人参加表演。由题可知，每边数是22人。 【解答】2222484（人） 答：参加体操表演的同学一共有484人。 例2、中学生运动会，准备在正方形的操场插上彩旗。如果四个角上都要插 上一面彩旗，要使每边有7面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗？ （1）图示法 【分析】根据题意画出如下示意图： 【解答】解法1从上图可以看出角上的四面旗各属于两行，所以，彩旗的 总数应该为74424（面）。 解法2把场地周围的彩旗分成相等的四部分，可以看出彩旗总数为（71） 424（面）。 解法3先除去四角上的四面旗，再把旗分成四部分，把总数算出来，再加 上四角上的面，可得出彩旗的总数为（72）4424（面）。 解法4先算出两边的彩旗数，再算出另外两边的彩旗数，彩旗的总数为 72（72）224（面） （2）公式法 【分析】这些彩旗组成了一个一层空心方阵，根据公式空心方阵物体的总数 （最外层一边个数层数）层数4可求出彩旗总数。 【解答】（71）1424（面） 答：一共要准备24面彩旗。 例3、参加中学生运动会团体操表演的运动员排成了一个正方形队列。如果 要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运 动员有多少人？ （1）图示法 【分析】如下图表示的是一个五行五列的正方形队列，从图中可以看出正方 形每行、每列人数相等；不管是减去哪一行、哪一列，只要是同时横竖各减少一 排，那么必然有1人而且只有1人是同时属于被减去的一行和一列，也就是去掉 横竖各一排时，去掉的总人数是原每行人数21或者是减少后每行人数21。 【解答】解法1先利用去掉横竖各一排时，去掉的总人数原每行人数 21，原每行人数（去掉的总人数1）2，求出团体操队列每行有多少人， 再求参加团体操运动员的人数。 原每行人数：（331）217（人） 总人数：1717289（人） 解法2利用去掉横竖各一排时，去掉的总人数减少后的每行人数21， 减少后每行人数（去掉总人数1）2，求出减少人数后的团体操队列的每行人 数，再求参加团体操的运动员人数。 减少后每行人数：（331）216（人） 总人数：161633289（人） （2）公式法 【分析】实心方阵去掉一行、一列，则去掉一行、一列的总人数去掉的每 边人数21，所以利用此公式可求出去掉的每边人数，去掉的每边数就是原外 层每边数，而实心方阵物体总数最外层的一边个数的平方外层每边数每边数， 可求出参加团体操的运动员人数。 【解答】（331）217（人） 1717289（人） 答：参加团体操表演的有289人。 例4、六一节用鲜花在演出台周围排成一个四层空心方阵，最外面一层 每边有鲜花12盆，摆这个方阵共用了多少盆鲜花？ （1）图示法 【分析】如下图是四层空心方阵图，通过观察可以看出，内层每边的个数都比 相邻外层的每边个数少2。每相邻两层之间，每层的总数相差8个，因此，知道 方阵中某一层的鲜花总数，就可以求出各层鲜花的总数。 【解答】解法1最外层的鲜花总数：124444（盆） 共有鲜花：44（448）（4482）（4483） 44362820 128（盆） 解法2先看成要排成每排12盆，一共12排的实心方阵，求出鲜花总数， 再减去中间部分实际不存在的鲜花数。中间部分实际不存在的鲜花数可看成从第 五层开始，最外边数为（1224）的实心方阵。 1212（1224）（1224） 14416 128（盆） （2）公式法 【分析】这些鲜花围成了最外面一层为12盆的四层空心方阵。根据空心方 阵公式物体的总数（最外层一边个数层数）层数4，可求出摆这个方阵共 用了多少盆鲜花。 【解答】（124）44 844 324 128（盆） 答：摆这个方阵共用了128盆鲜花。
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