浅析最小二乘法在医药制造工业成本的应用

　　摘要：随着社会需求及技术的不断进步，药品生产的规模也随之不断加大。掌握药品生产成本规律，对药品扩大规模具有积极作用和指导意义。本文从最小二乘法的原理出发，建立生产成本的回归模型，通过实例对药品生产的单耗及总成本进行预测及分析。并得出加权最小二乘法因为消除了异方差的影响，其模型拟合度高于普通最小二乘法。
　　关键词：最小二乘法；生产成本；回归模型；预测
　　在当今药品生产领域上，随着社会需求及其技术的不断进步，其生产规模也在逐步加大。能否准确把握药品生产成本规律，进而对其成本费用进行控制和预测，對实际生产实现效益最大化有着重要的指导意义。
　　根据长期实践生产经验和产量成本数据，我们可以得出，随着产量的增长，其单位成本费用会按照一定的比例不断下降，最终趋于平稳，这叫做熟练曲线。影响熟练曲线的因素很多，如：原材料的消耗，能源消耗，人工费用等等。因此，在建立生产成本费用按生产量变化的非线性数学回归模型：。其中：y为生产量x的成本费用，x为生产量，A，b为模型的回归参数。
　　1、最小二乘法基本原理
　　在我们研究两个变量（x，y）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x1，y1。x2，y2。。。xm，ym）；将这些数据描绘在xy直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程（式11）（a0、a1是任意实数）
　　为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用（式11）计算值（Yja0a1X）的离差（YiYj）的平方和最小为优化判据。
　　令：（式12）
　　当最小时，可用函数对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
　　（式13）
　　（式14）
　　得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：
　　（式15）
　　（式16）
　　这时把a0、a1代入（式11）中，此时的（式11）就是回归的一元线性方程。在回归过程中，回归的关联式不可能全部通过每个回归数据点（x1，y1。x2，y2。。。xm，ym），为了判断关联式的好坏，可借助相关系数R，统计量F，剩余标准偏差S进行判断；R越趋近于1越好；F的绝对值越大越好；S越趋近于0越好。
　　2、实例分析（应用spss1。8进行回归分析）
　　表1某种药品生产数据（单位：吨）
　　产品产量主要原材料单耗辅助原材料单耗能源单耗单位总成本
　　195。728。428。1131。7
　　286。322。619。3107。7
　　377。518。516。594。7
　　480。820。115。897。5
　　582。220。015。7102。7
　　674。120。715。991。1
　　771。519。313。986。0
　　868。020。114。785。9
　　966。317。912。579。5
　　1066。717。611。180。8
　　从上表可以看出，主要原材料、辅助原材料和能源的单耗都随着产量的增长而减少，并趋于稳定，它们和产量之间呈现负指数关系。
　　我们以主要原材料单耗为例，将非线性问题转化为线性问题。
　　设自变量x为产品产量，因变量y为相应的主要原材料单耗。，对此函数进行变换，可得回归公式，lnylnAblnx。通过计算可得，lnA4。571，b0。156，检验得F66。584F（0。05）（1，8）5。32，R0。945R（0。05）（8）0。632，线性关系显著。可得主要原材料单耗回归公式：。同理，可得其余两项单耗与产量的回归公式。（见表2）
　　在进行总成本预测时，我们采用了普通最小二乘法（OLS）和加权最小二乘法（WLS），这二种方法分别得到回归模型为：
　　普通最小二乘法（OLS）
　　Y1。012X10。887X20。758X312。653
　　加权最小二乘法（WLS）
　　Y0。863X10。574X21。328X34。604
　　其中：Y为总成本，X1为主要原材料单耗，X2为辅助原材料单耗，X3为能源单耗
　　比较二者拟合结果是差异见表3
　　OLS拟合值OLS误差WLS拟合值WLS误差
　　130。71。0131。60。1
　　109。41。7108。50。8
　　94。70。094。80。1
　　98。91。497。60。1
　　100。22。598。74。0
　　92。71。692。31。2
　　87。41。486。60。6
　　85。10。885。10。8
　　79。80。379。50。0
　　78。91。977。83。0
　　一般来说，在实际生产过程中，生产所需原材料由于批次、质量、价格不同，还有一些误差因素的存在，使得药品总成本存在异方差性，从表3也可以看出，WLS方法误差有7个控制在1，而OLS仅为3个。因而使用WLS方法比OLS方法能够得到更为准确的预测效果。
　　通过表2的预测值，应用OLS和WLS所得的预测模型，可得产量为11吨时，单位总成本为79。3（OLS）和78。7（WLS）。
　　这两种预测方法可以推广到诸如药品销售费用的预测，产品价格定位预测等等，同样具有非常积极的意义。
　　参考文献：
　　〔1〕计量经济学，李子奈、潘文卿著，第3版，高等教育出版社，2014年
　　〔2〕经济预测与决策，吴仁群著，第1版，中国人民大学出版社，2011年