微元法的思维方式方法的研究

　　摘要：阐述了元素法的重要性，以定积分为例，详细讨论了应用元素法的关键与难点及步骤，给出了用元素法求具体问题的实例。
　　关键词：元素法
　　元素法是高職学校数学课程重要方法，是学习后续课程的重要工具。
　　一、直角坐标系下元素法
　　用定积分来解决实际问题需要应用微元法。何谓微元法？怎么应用微元法？怎样找微元？这是积分应用的关键与难点，如果仅仅说：设想把区间〔a，b〕分成n个小区间，取其中任一小区间并记作〔x，xdx〕，求出相应于这个小区间的部分量U的近似值，如果U能近似地表示为〔a，b〕上的连续函数在x处的值f（x）与dx的乘积，就把f（x）dx称为量U的元素，这实际并没有说清楚如何找到要求量U的微元，因为写出连续函数f（x）是找微元的关键与难点，如果紧紧依靠微积分的基本思想：局部以直代曲、以匀代变，就很容易得到：
　　在〔a，b〕上任取一微小区间〔x，xdx〕，在〔x，xdx〕上以匀（不变）代变，即将区间〔x，xdx〕对应的U的局部量U看作从x起是连续均匀变化的，从而用初等方法求出U的近似值，即U的微元dUf（x）dx。
　　因此，找微元的实质是在局部小区间上将非均匀变化的量近似看作均匀变化的量，从而就可以用初等方法求出其近似值dUf（x）dx，这就是所谓的微元。
　　比如，利用定积分来计算平行截面面积为已知的立体的体积。如图1，一立体在区间〔a，b〕上是非均匀变化的，为求该立体的体积微元，在〔a，b〕上的一个小区间〔x，xdx〕上以匀（不变）代变认为过该区间上各点所作的x轴的垂面截立体所得截面都与过点x所得到的截面A（x）（其面积也记为A（x），其中A（x）为x的连续函数）是相同的，这样一来，区间〔x，xdx〕所对应的体积V就可以近似看作以截面A（x）为底，高为dx的柱体，由初等数学的知识知，该柱体的体积：
　　dV（x）A（x）dx
　　就是要求的体积微元。
　　二、极坐标系下元素法
　　再比如，如图2，为研究由射线，及曲线（）所围成的曲边形的面积（即讨论极坐标系下曲边形面积计算问题），在区间〔，〕上任取一个小区间〔，d〕，该区间所对应的曲边（）上各点到原点的距离本来是不同的，我们按照以匀代变的思维，认为在该小曲线段上，从极角为的点起，各点到原点的距离是保持不变的，即将该小区间所对应的曲边扇形近似看做以处的极径（）为半径、中心角为d的圆扇形（图2的阴影部分），它的面积的计算就属于非常熟悉的初等方法了，该圆扇形的面积就是要求的面积微元。
　　同样的道理，在计算平面区域或空间区域中的非均匀变化的量时，也是局部认为是连续均匀变化的，以直代曲、以匀代变从而变成常量数学问题，用初等的方法求出局部近似值，就是要求量的微元。这样来看，找微元就是一个非常简单的问题了。
　　例：设有一平面薄板所占的闭区域是由圆周x2y22及坐标轴所围成的位于第一象限内的部分，其面密度为ln（1x2y2），求该薄板的质量。
　　解：薄板的质量
　　教学是创造性的劳动，教师的任务不仅是要选择一本好的教材，而且要组织好教学内容，创造性地把知识传授给学生，元素法教学将教科书中的知识进行重新组合，再现数学的发现发明过程，使整个教学具有条理性、启发性与诱导性，并且能讲授出有创见性的东西，使培养出来的学生真正是智能型、开拓型人才。
　　作者简介：陆毅，（1963），男，工作于辽宁铁道职业技术学院，副教授。