尼科尔森微观经济理论基本原理与扩展第版

　　第一篇引言
　　第1章经济模型
　　本章没有课后习题。本章是全书的一个引言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。
　　第2章微观经济学中的数学工具
　　1已知U（x，y）4x23y2。
　　（1）计算
　　。
　　（2）当x1，y2时，求这两个偏导数的值。
　　（3）写出U的全微分。
　　（4）当dU0，计算dydx，即保持U不变，y和x的替代关系如何？
　　（5）说明当x1，y2时，U16。
　　（6）当x1，y2时，x，y要以怎样的比例微小变化才能保持U16不变？
　　（7）U16的等高线是什么图形？它各点的斜率是多少？
　　解：（1）对于函数U（x，y）4x23y2，其关于x和y的偏导数分别为：
　　（2）当x1，y2时，（1）中的偏导数值分别为：
　　（3）U的全微分为：
　　（4）当dU0时，由（3）可知：8xdx6ydy0
　　从而可以解得：
　　（5）将x1，y2代入U的表达式，可得：U413416。
　　（6）由（4）可得，在x1，y2处，当保持U16不变，即dU0时，有：
　　（7）当U16时，该函数变为4x23y216，因而该等高线是一个以原点为中心的椭圆。由（4）可知，该等高线在（x，y）处的斜率为：
　　2假设某企业的总收入只由产量决定，且关系式为R70qq2，总成本也只由q决定，Cq230q100。
　　（1）要使利润（RC）最大化，产量定为多少？最大利润是多少？
　　（2）说明（1）问题的答案满足极值的二阶条件。
　　（3）结果满足边际收益边际成本原则吗？请解释。
　　解：（1）公司的利润函数为：RC2q240q100
　　利润最大化的一阶条件为：
　　从而可以解得利润最大化时的产量为：q10
　　相应的最大化的利润为：21024010100100
　　（2）在q10处，利润最大化的二阶条件为：
　　因而满足利润最大化的二阶条件。
　　（3）在q10处，边际收益为：
　　边际成本为：
　　因而有MRMC50，即边际收益等于边际成本准则满足。
　　3设f（x，y）xy，在xy1的约束条件下分别用代入消元法和拉格朗日乘数法求最大值。
　　解：（1）代入消元法
　　由xy1可得：y1x，将其代入f可得：fxyxx2，
　　从而有：
　　可以解得：x0。5，y0。5，f0。25。
　　（2）拉格朗日乘数法
　　构造拉格朗日函数：Lxy（1xy）
　　一阶条件为：
　　从而可以解得：xy0。5，fxy0。25。